Пределы Шпаргалка
Если существует предел f(x), и g(x) , то действует следующее условие:
limx→a(x)=a
limx→a[c·f(x)]=c·limx→af(x)
limx→a[(f(x))c]=(limx→af(x))c
limx→a[f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)
limx→a[f(x)·g(x)]=limx→af(x)·limx→ag(x)
limx→a[f(x)g(x) ]=limx→af(x)limx→ag(x) , where limx→ag(x)≠0
Для limx→cf(x)=∞,limx→cg(x)=L, действует следующее условие:
limx→c[f(x)±g(x)]=∞
limx→c[f(x)g(x)]=∞, L>0
limx→c[f(x)g(x)]=−∞, L<0
limx→cg(x)f(x) =0
limx→∞(axn)=∞, a>0
limx→−∞(axn)=∞, с четным n, a>0
limx→−∞(axn)=−∞, с нечетным n, a>0
limx→∞(cxa )=0
limx→∞((1+kx )x)=ek
limx→∞((xx+k )x)=e−k
limx→0((1+x)1x )=e
Предел постоянной величины
limx→ac=c
Основной предел
limx→ax=a
Теорема о двух милиционерах
Да будут f, g и h функциями у которых для любого x∈[a,b] (за исключением, возможно, точки предела c ),
f(x)≤h(x)≤g(x)
Также, предположим, что, limx→cf(x)=limx→cg(x)=L
Тогда для любого a≤c≤b, limx→ch(x)=L
Правило Лопиталя
Для limx→a(f(x)g(x) ),
если limx→a(f(x)g(x) )=00 или limx→ a(f(x)g(x) )=±∞±∞ , то
limx→a(f(x)g(x) )=limx→a(f′(x)g′(x) )
Критерий расходимости
Если существуют две последовательности,
{xn}n=1∞ и {yn}n=1∞ с
xn≠c и yn≠c
limxn=limyn=c
limf(xn)≠limf(yn)
то limx→ cf(x) не существует
Цепное правило предела
если limu → b f(u)=L, а limx → ag(x)=b, и f(x) непрерывны в x=b
то: limx → a f(g(x))=L
Алгебра
Пределы
