Пределы Шпаргалка
\mathrm{Если\:существует\:предел\:\:f(x),\:и\:g(x)\:,\:то\:действует\:следующее\:условие:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
\mathrm{Для}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{действует\:следующее\:условие:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{с\:четным\:n} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{с\:нечетным\:n} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
Предел постоянной величины
\lim_{x\to{a}}{c}=c
Основной предел
\lim_{x\to{a}}{x}=a
Теорема о двух милиционерах
\mathrm{Да\:будут\:f,\:g\:и\:h\:функциями\:у\:которых\:для\:любого\:}\:x\in[a,b]\:\mathrm{(за\:исключением,\:возможно,\:точки\:предела\:c\:\:),}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{Также,\:предположим,\:что,\:}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{Тогда\:для\:любого\:}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
Правило Лопиталя
\mathrm{Для}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{если}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{или}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\:\mathrm{то}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
Критерий расходимости
\mathrm{Если\:существуют\:две\:последовательности,\:}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:и\:}\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:с\:}
x_n\ne{c}\mathrm{\:и\:}y_n\ne{c}
\lim{x_n}=\lim{y_n}=c
\lim{f(x_n)}\ne\lim{f(y_n)}
\mathrm{то\:}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{\:не\:существует}
Цепное правило предела
\mathrm{если}\:\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\mathrm{а}\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b,\:\mathrm{и}\:f(x)\:\mathrm{непрерывны\:в}\:x=b
\mathrm{то:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
Алгебра
