English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярный Тригонометрия >

4sin(x)-3cos(x)=5

Решение

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Решение

x = 2.21429 \dots + 2 πn

Градусы

x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Добавьте

3 cos (x)

к обеим сторонам

4 sin (x) = 5 + 3 cos (x)

Возведите в квадрат обе части

(4 sin (x))^{2} = (5 + 3 cos (x))^{2}

Вычтите

(5 + 3 cos (x))^{2}

с обеих сторон

16 sin^{2} (x) - 25 - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

- 25 + 16 sin^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Упростите

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Расширить

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Перемножьте числа:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Упростить

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 25 + 16

Добавьте похожие элементы:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 25 + 16

Прибавьте/Вычтите числа:

- 25 + 16 = - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

Решитe подстановкой

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0 : u = - \frac{3}{5}

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

Запишите в стандартной форме

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = - 25, b = - 30, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9) = 0

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9)

Примените правило

- (- a) = a

= (- 30)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Примените правило возведения в степень:

(- a)^{n} = a^{n},

если

n

четное

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

Перемножьте числа:

4 \cdot 25 \cdot 9 = 900

= 3 0^{2} - 900

3 0^{2} = 900

= 900 - 900

Вычтите числа:

900 - 900 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )} = - \frac{3}{5}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

Уберите скобки:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{30}{- 2 \cdot 25}

Перемножьте числа:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{30}{- 50}

Примените правило дробей:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{30}{50}

Отмените общий множитель:

10

= - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

Решение квадратного уравнения:

u = - \frac{3}{5}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = - \frac{3}{5}

Общие решения для

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Объедините все решения

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Проверьте решения, вставив их в исходное уравнение

Проверьте решения, вставив их в

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

Удалите те, которые не согласуются с уравнением.

Проверьте решение

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Верно

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Для

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

подключите

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Уточнить

5 = 5

\Rightarrow Верно

Проверьте решение

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

Неверно

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Подставьте

n = 1

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

Для

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

подключите

x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

Уточнить

- 1.4 = 5

\Rightarrow Неверно

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 2.21429 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные Примеры